Пример 2.2.1

,

но ,

а по формуле для производной сложной функции —

.

Отсюда, после вынесения общего множителя за скобки, получим

.

В некоторых случаях перед вычислением производной полезно предварительное дифференцирование. Пусть, например:

Пример 2.2.2. , тогда . Дифференцируем . Отсюда окончательно получим .

Дифференциал и его связь с приращением. Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента. Обозначение dy, т. е. . Дифференциал независимого переменного равен его приращению.

Приращение функции при , т. е. дифференциал есть главная линейная часть приращения функции.

Дифференциал применяется в приближенных вычислениях. Заменяя приращение f(a + h) – f(a) дифференциалом f'(a)h, будем иметь приближенные формулы. Примеры:

Пример 2.2.3. ,

Пример 2.2.4. ,

Пример 2.2.5. .

Пусть известно, что ln2 = 0,693, тогда ; по таблицам , т. е. ошибка меньше 0,2%.

Иногда перед применением формул требуется предварительное преобразование величины, которую нужно вычислить.

Дата добавления: 2014-11-20