П. 1 алгебра

Приложение к динамике твердого тела

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя векторными уравнениями. Одно из них - уравнение движения центра инерции (4.14), другое - уравнение моментов в Ц - системе (7.24):

; . (7.26)

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о движении тела. Однако, несмотря на кажущуюся простоту уравнений (7.26), решение их в общем случае представляет собой весьма трудную задачу. И прежде всего это обусловлено тем обстоятельством, что связь между собственным моментом импульса и скоростями отдельных точек твердого тела в Ц - системе оказывается сложной, за исключением немногих частных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде (она решается в общей теории), и ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями.

Но прежде приведем некоторые соображения, прямо вытекающие из вида самих уравнений (7.26). Если мы будем переносить силы вдоль направления их действия, то ясно, что не изменятся ни их результирующая , ни их суммарный момент . При этом уравнения (7.26) тоже не изменятся, а следовательно, не изменится и движение твердого тела. Поэтому точки приложения внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил - прием, которым постоянно пользуются.

Далее, в тех случаях, когда суммарный вектор момента всех внешних сил оказывается перпендикулярным к результирующей силе, т. е. , действие всех внешних сил может быть сведено к одной силе , действующей вдоль определенной прямой. В самом деле, если относительно некоторой точки О суммарный момент, то всегда можно найти такой вектор (рис. 7.15), что при заданных и

.

При этом выбор вектора неоднозначен: прибавление к нему любого вектора , параллельного вектору , не изменит последнего равенства. А это означает, что данное равенство определяет не точку «приложения» силы , а линию ее действия. Зная модули и соответствующих векторов, можно найти плечо l силы (см. рис.7.15):

l = M / F.

Таким образом, если , систему сил, действующих на отдельные точки твердого тела, можно заменить одной равнодействующей силой, которая равна результирующей и создает момент, равный суммарному моменту всех внешних сил.

Таков, в частности, случай однородного силового поля, например поля тяжести, в котором действующая на каждую частицу тела сила имеет вид . В этом случае суммарный момент сил тяжести относительно любой точки О равен

.

Стоящая в круглых скобках сумма согласно (6.11) равна , где т — масса тела, - радиус-вектор его центра инерции относительно точки О. Поэтому

.

Это значит, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр инерции тела. Обычно говорят, что равнодействующая сил тяжести «приложена» к центру инерции тела, или к его центру тяжести. Ясно, что момент этой силы относительно центра инерции тела равен нулю. Теперь перейдем к рассмотрению трех частных случаев движения твердого тела: вращение вокруг неподвижной оси, плоское движение и особый случай движения тела с одной неподвижной точкой (гироскопы).

Вращение вокруг неподвижной оси. Найдем сначала выражение для момента импульса твердого тела относительно оси вращения ОО' (рис. 7.16). Воспользовавшись формулой (7.9), запишем

,

где m_i и ρ_i - масса и раcстояние от оси вращения i -й частицы твердого тела, - его угловая скорость.

Обозначив величину, стоящую в круглых скобках, через I, получим

, (7.27)

где I - так называемый момент инерции твердого тела относительно оси 00':

. (7.28)

Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной. Вычисление момента инерции тела проводится по формуле

,

где dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r от интересующей нас оси z; ρ - плотность тела в данной точке.

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси Z_C, проходящей через центр инерции тела, приведены в следующей таблице (здесь т - масса тела):

Твердое тело	Ось ZC	Момент инерции Jz
Тонкий стержень длиной l Сплошной цилиндр радиуса R   Тонкий диск радиуса R   Шар радиуса R	Перпендикулярна к стержню   Совпадает с осью цилиндра   Совпадает с диаметром диска   Проходит через центр шара

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той или иной оси представляет собой, вообще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера (Гюйгенса): момент инерции I относительно произвольной оси Z равен моменту инерции I_C относительно оси Z_C, параллельной данной и проходящей через центр инерции С тела, плюс произведение массы тела т на квадрат расстояния а между осями:

. (7.29)

Таким образом, если известен момент инерции I_C, то нахождение момента инерции I элементарно. Например, момент инерции тонкого стержня (массы т и длины l) относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, равен

.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Это уравнение легко получить, если продифференцировать (7.27) по времени, тогда

, (7.30)

где M_z - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения.

Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции I определяет инерционные свойства твердого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил М_z тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение .

Напомним, что моменты сил относительно оси - величины алгебраические: их знаки зависят как от выбора положительного направления оси Z (совпадающей с осью вращения), так и от направления «вращения» соответствующего момента силы. Например, выбрав положительное направление оси Z, как показано на рис. 7.17, мы тем самым задаем и положительное направление отсчета угла φ (оба эти направления связаны правилом правого винта). Далее, если некоторый момент M_iz «вращает» в положительном направлении угла φ, то этот момент считается положительным, и наоборот. А знак суммарного момента M_z в свою очередь определяет знак - проекции вектора углового ускорения на ось Z.

Интегрирование уравнения (7.30) с учетом начальных условий - значений и в начальный момент времени - позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т. е. найти зависимость от времени угловой скорости и угла поворота .

Заметим, что уравнение (7.30) справедливо в любой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если система отсчета неинерциальная, то необходимо помнить, что момент сил М_z включает в себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами, но и моменты сил инерции.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (ось вращения неподвижна). Имея в виду, что скорость i - й частицы вращающегося твердого тела , запишем

или, короче,

, (7.31)

где I - момент инерции тела относительно оси вращения, ω - его угловая скорость.

Задача 7.10

Диск 1 (рис. 7.18) вращается вокруг гладкой вертикальной оси с угловой скоростью . На него падает диск 2, вращающийся с угловой скоростью . Вследствие трения между ними оба диска через некоторое время начинают вращаться как единое целое. Найти приращение кинетической энергии вращения этой системы, если моменты инерции дисков относительно оси вращения равны соответственно I₁ и I₂.

Сначала найдем установившуюся угловую скорость вращения. Из закона сохранения момента импульса системы относительно оси z следует, что , откуда . (^*)

Заметим, что , и - величины алгебраические. Если окажется, что ω_z >0, то это значит, что соответствующий вектор совпадает с положительным направлением оси z, и наоборот. Приращение кинетической энергии вращения этой системы

.

Заменив ω_z его выражением (^*), получим

. (**)

Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы уменьшается.

Следует обратить внимание на то, что полученные результаты (*) и (**) весьма похожи и по форме и по смыслу на случай абсолютно неупругого столкновения.

Работа внешних сил при вращении твердого тела. В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил в случае твердого тела равна приращению только кинетической энергии тела, так как собственная потенциальная энергия твердого тела при этом не меняется. Таким образом, δА = dT. Воспользовавшись (7.31), запишем

.

Имея в виду, что и, согласно (7.26), , получим

. (7.32)

Работа δA - величина алгебраическая: если M_z и dφ имеют одинаковые знаки, то δA > 0; если же их знаки противоположны, то δA < 0.

Работа внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол φ равна

. (7.33)

В случае, если M_z = const, последнее выражение упрощается: А = M_zφ.

Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента M_z этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что их момент M_z = 0, то работы они не производят.

Плоское движение. При плоском движении центр инерции С твердого тела движется в определенной плоскости, неподвижной в данной K -системе отсчета, а вектор его угловой скорости все время остается перпендикулярным к этой плоскости. Последнее означает, что в Ц - системе твердое тело совершает чисто вращательное движение вокруг неподвижной в этой системе оси, проходящей через центр инерции тела. Вращательное же движение твердого тела определяется уравнением (7.30), которое, как было отмечено, справедливо в любой системе отсчета.

Таким образом, мы имеем следующие два уравнения, описывающие плоское движение твердого тела:

, (7.34)

где т - масса тела, - результирующая всех внешних сил, I _C и - момент инерции и суммарный момент всех внешних сил — оба относительно оси, проходящей через центр инерции тела.

При этом следует помнить, что момент включает в себя только внешние силы взаимодействия, несмотря на то что Ц - система в общем случае является неинерциальной. Это связано с тем, что суммарный момент сил инерции равен нулю как относительно центра инерции, так и относительно любой оси, проходящей через эту точку. Поэтому его можно просто не учитывать.

Заметим также, что угловое ускорение , а следовательно, и одинаковы в обеих системах отсчета, так как Ц - система движется поступательно относительно инерциальной K -системы отсчета.

Интегрируя уравнения (7.34) с учетом начальных условий, можно найти зависимости и , определяющие положение твердого тела в любой момент времени t.

При решении задачи о движении несвободного твердого тела необходимо использовать еще одно, дополнительное, условие, определяющее ограничения движения имеющимися связями. Оно дает кинематическую связь между ускорениями и .

Задача 7.11

Однородный цилиндр массы т и радиуса r скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом (рис. 7.19). Найти уравнения движения цилиндра.

Стандартный подход к решению подобных задач состоит в следующем. Прежде всего устанавливают силы, действующие на данное тело, и точки их приложения (в данном случае это - сила тяжести, - нормальная составляющая силы реакции со стороны наклонной плоскости и - сила трения покоя). Затем выбирают положительные направления оси X и угла поворота φ (лучше всего эти направления взять сразу согласованными, так чтобы знаки ускорений и были одинаковы), например как показано на рис. 7.20справа. И только после этого записывают сами уравнения движения (7.34) в проекциях на выбранные таким образомположительные направления x и φ:

; .

Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет еще кинематическую связь между ускорениями:

Совместное решение этих трех уравнений дает возможность найти ускорения и , а также силу F_TP.

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении. Пусть тело совершает плоское движение в некоторой инерциальной K -системе отсчета. Чтобы найти его кинетическую энергию Т в этой системе, воспользуемся формулой (6.15). Входящая в эту формулу величина в данном случае представляет собой кинетическую энергию вращения тела в Ц - системе вокруг оси, проходящей через центр инерции тела. Согласно (7.31), , поэтому сразу можно записать

, (7.35)

где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр инерции, ω - угловая скорость тела, m - его масса, V_C - скорость центра инерции тела в K -системе отсчета.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в Ц - системе и энергии, связанной с движением центра инерции.

Вывод

Подробнейшим образом рассмотрен наиболее значительный результат развития теоретической механики – понятие момента импульса частицы и системы тел. В векторной форме проведены взаимосвязи с силами, приложенными к рассматриваемому объекту. Значение момента импульса в многочисленных примерах определено для различных систем отсчёта и частных случаев движения. Сделан переход к определению геометрических характеристик движущихся тел, имеющих архиважное значение при изучении как теоретической, так и других разделов механики.

Контрольные вопросы

1. Что такое момент импульса частицы и системы?

2. Сформулируйте закон сохранения движения.

3. Что позволяет определить момент силы?

4. Запишите закон сохранения момента импульса частицы на произвольную ось.

5. Какое влияние оказывают внутренние силы системы на величину её момента импульса?

6. Чем различаются записи закона сохранения импульса системы для инерциальных и неинерциальных систем?

7. Что общего между скамейкой Жуковского и законом сохранения импульса системы?

8. Какой особенностью обладает собственный момент импульса Ц-системы?

9. Определите момент инерции твёрдого тела относительно оси.

10. Укажите физический смысл момента инерции твёрдого тела относительно оси.

11. Сформулируйте теорему Штейнера (Гюйгенса).

12. Определите кинетическую энергию тела в случае его произвольного движения.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Дата добавления: 2014-11-29