Пример 16

Линейка АВ длиной = 40 см. движется в плоскости чертежа. В некоторый момент времени ускорение точки А = 40 см/с² и совпадает с направлением АВ. Определить ускорение точки В, если = 1 рад/с; = 0,5 рад/с².

Рис.49

Решение:

Выбираем за полюс точку А, тогда: ,

учитывая, что , получим .

Нормальное ускорение всегда известно по модулю и направлению (направлено к полюсу, т.е. к точке А) и по модулю равно:

=1 40=40 см/с².

Касательное ускорение направлено в сторону углового ускорения, перпендикулярно нормальному ускорению и по модулю равно: =0,5 40=20 см/с²;

Введём координатные оси и покажем направления ускорений (Рис.50):

Рис.50

Спроектируем векторное равенство на координатные оси X и Y:

Пример 17 (18.26[9])

Груз 1, связанный посредством нерастяжимой нити с катушкой 2, опускается вертикально вниз по закону x=t² м. При этом катушка 2 катится без скольжения по неподвижному горизонтальному рельсу. Определить скорости точек С, А, В, О и Е катушки в момент времени t = 1 c в положении, указанном на рис. 44, а также угловую скорость катушки, если AD СE, СD=2OC=0,2 м.

Рис.51

Решение:

По заданному условием задачи закону движения груза 1,определяем его скорость (см. пример 15, Рис. 44).

м/с

Скорость точки D, общей для нити и катушки, направлена вдоль нити и, поскольку нить считается нерастяжимой, имеет модуль, равный модулю скорости груза

Движение катушки плоское (катушка движется в плоскости рисунка). По условию задачи катушка катится без скольжения. Установив положение мгновенного центра скоростей, который находится в точке касания катушки и неподвижного рельса (то есть, в точке О) по известной скорости точки D находим угловую скорость и угловое ускорение катушки:

с^-1

с^-2

Отсюда при t = 1 c получим:

с^-1

В качестве полюса выберем центр катушки С, который движется по прямолинейной траектории. Скорость центра катушки:

м/с

Вектор ускорения точки С направлен вдоль этой траектории (Рис.52), а его модуль определяем с помощью выражения:

м/с².

Рис.52

Ускорения точек А, В, D, О и E определим с помощью общей формулы ускорений. Для ускорения точки А запишем:

.

Учитывая полученные значения угловой скорости и углового ускорения катушки, находим значения нормального и касательного ускорений:

м/с²; м/с².

Спроектировав векторное равенство на координатные оси х и у, получим (Рис.53):

Рис.53

Повторяя описанное решение для точек В, Е, О и D будем иметь

,

где:

м/с²

м/с²

Проекции на координатные оси (Рис.54):

Рис.54

Для точки Е (Рис.55):

Рис.55

где:

м/с²

м/с²

Проекции на оси координат:

Для точки О, совпадающей с мгновенным центром скоростей катушки (Рис.56):

,

где:

м/с²

м/с²

Рис.56

Проекции на оси координат:

Для точки D:

где:

м/с²

м/с²

Проекции на оси координат (Рис.57):

Рис.57

Пример 18 (18.34[9])

Ускорения концов однородного стержня АВ длины 12 см, совершающего плоскопараллельное движение, перпендикулярны АВ и направлены в одну сторону, причем = 24 см/с², = 12 см/с^2.. Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня, а также ускорение его центра тяжести С.

Решение:

Для решения задачи используем общую формулу плоского поля ускорений.

Выбираем за полюс точку А, тогда: , учитывая, что,

получим:

.

Нормальное (центростремительное) ускорение направлено к полюсу, т.е. к точке А и по модулю равно: ;

где - мгновенная угловая скорость стержня.

Касательное ускорение направлено в сторону углового ускорения E, перпендикулярно нормальному ускорению и по модулю равно: .

Введём координатные оси и покажем направления ускорений, (так как направление углового ускорения нам не известно, то вектор касательного ускорения направляем перпендикулярно нормальному ускорению в любую сторону) (Рис.58):

Рис.58

Спроектировав векторное уравнение на оси координат х и у, получим:

;

.

В результате:

см/с².

Зная касательное ускорение, определяем угловое ускорение звена АВ: с^-2.

По известным значениям угловой скорости и углового ускорения стержня можно найти ускорение любой его точки. Записываем общую формулу плоского поля ускорений для ускорения точки С:

,

где: нормальное ускорение при вращательном движении точки С вокруг точки А так как угловая скорость звена АВ равна нулю. Касательное ускорение при вращательном движении точки С вокруг точки А см/с².

Проектируя равенство (26) на координатные оси, получим:

;

см/с².

Получили ускорение точки С:

а_С =18 см/с².

Направление можно определить по направляющим косинусам.

Дата добавления: 2014-12-27