Критерии устойчивости

Критерий устойчивости - это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Рассмотрим основные критерии устойчивости систем управления.

Критерий устойчивости Гурвица. Критерий разработан в 1895 г. Пусть определено характеристическое уравнение замкнутой системы

.

Это уравнение приводим к виду так, чтобы .

Составим главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали записываются коэффициенты уравнения, начиная со второго по последний, столбцы вверх от диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали – коэффициентами с убывающими индексами. Остальные места заполняются нулями.

Выделим диагональные миноры или простейшие определители в главном определителе Гурвица:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при положительном коэффициенте характеристического уравнения главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны. Если хотя бы один из коэффициентов или один из определителей отрицательны, то система устойчива. Если один из коэффициентов либо один из определителей равны нулю, то система – на грани устойчивости.

Критерий Гурвица удобен для исследования устойчивости систем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры системы. Системы первого и второго порядков устойчивы, если все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля. Система находится на грани устойчивости, если и все диагональные миноры положительны: в этом случае (апериодическая граница устойчивости). Если , а и все остальные диагональные миноры положительны, то система – на гране устойчивости (колебательная граница устойчивости).

Для систем выше второго порядка кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения необходимо выполнение следующих неравенств:

– систем третьего порядка:

– систем четвертого порядка:

– систем пятого порядка:

;

– систем шестого порядка:

Пусть дано характеристическое уравнение . Необходимо исследовать устойчивость системы по Гурвицу:

Для устойчивых систем необходимо и

Критерий Рауса. Критерий, опубликованный в 1877 г., используется при исследовании устойчивости систем высокого порядка.

Для того чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и имели один и тот же знак (табл. 4.2).

Таблица 4.2

				…
				…
				…
				…

Алгоритм заполнения таблицы: в первой и второй строках записываются коэффициенты уравнения с четными и нечетными индексами; элементы остальных строк вычисляются по следующему правилу:

Достоинство критерия: можно исследовать устойчивость систем любого порядка.

Дата добавления: 2014-12-26