Введение в теорию автоматического управления

На рубеже XVIII-XIX веков в эпоху промышленного переворота в Европе начинается новый этап развития автоматики, связанный с внедрением ее в промышленность. 1765 год знаменуется постройкой регулятора уровня котла паровой машины И.И. Ползунова. В 1784 году появляется центробежный регулятор скорости паровой машины Дж.Уатта.

В это время формируется ряд важных принципов автоматики: принцип регулирования по отклонению Ползунова - Уатта и принцип регулирования по нагрузке Понселе. Первый из них развился в концепцию обратной связи, второй - в теорию инвариантности (Г.В. Щипанов, Н.Н. Лузин, Б.Н. Петров). Идея регулирования по нагрузке может быть проиллюстрирована на примере генератора с последовательным (сериесным) возбуждением (рис.1.1). При изменении нагрузки меняется ток возбуждения, который соответствующим изменением магнитного потока компенсирует дополнительное падение напряжения на внутреннем сопротивлении якоря генератора. Однако если при этом по каким-либо причинам изменяется скорость вращения якоря генератора, то застабилизировать напряжение на нагрузке в этой схеме уже не удается.

От этого недостатка свободна схема, приведенная на рис. 1.2, - именно вследствие использования принципа обратной связи. В этой схеме входной потенциометр служит для задания (коэффициент ) величины стабилизируемого напряжения; потенциометр, подключенный к якорю генератора, позволяет регулировать коэффициент обратной связи . В этом случае, в отличие от систем регулирования по возмущению, не важно, какая именно причина вызвала изменение регулируемой величины. При изменении напряжения на щётках генератора в соответствии с электрической схемой изменяется напряжение на обмотке возбуждения. При отрицательном знаке обратной связи знак приращения напряжения возбуждения противоположен знаку изменения напряжения якоря генератора. В итоге результирующая величина отклонения напряжения генератора уменьшается по сравнению с соответствующим уходом напряжения в системе без обратной связи.

На этом же принципе построена приведенная на рис.1.3 система стабилизации скорости паровой машины Уатта. На рис.1.4 представлена её функциональная схема. В данной системе с увеличением нагрузочного момента падают обороты турбины , что приводит к уменьшению расстояния 2 между грузиками центробежного регулятора. Вследствие этого заслонка поднимается (увеличивается расстояние ) и растет расход пара , подаваемого в турбину. Это приводит к росту числа оборотов турбины , а следовательно, к компенсации нагрузочного момента .

При изменении нагрузки на валу паровой машины после окончания переходных процессов сохраняется так называемая статическая ошибка. Если бы это было не так, то грузики центробежного регулятора, а вместе с ними и заслонка заняли бы своё первоначальное положение, и не изменившееся в результате количество подаваемого в турбину пара не смогло бы уравновесить изменившийся момент нагрузки. Такая система называется статической. Работа её осуществляется именно за счёт наличия статической ошибки.

Рассматриваемая система относится к классу систем прямого действия, то есть таких, в которых для реализации регулятора не используются дополнительные источники энергии. В данном случае это плохо, потому что для мощных установок перемещение тяжёлой заслонки потребует неразумно громоздкого и тяжёлого центробежного регулятора.

Таким образом, система является статической системой прямого действия.

Введём следующие определения:

§ статической системой называют систему, работающую за счет статической ошибки;

§ системой прямого действия называют систему, регулятор которой не имеет собственных источников энергии.

Описание системы управления может быть представлено в графическом виде.

§ Функциональной схемой называется блок-схема, каждый элемент которой отображает некоторый физический элемент (группу физических элементов) рассматриваемой системы;

§ структурной схемой называется блок-схема, каждый элемент которой отображает некоторый математический оператор (группу операторов), описывающий рассматриваемую систему.

Использование функциональных и структурных схем позволяет более наглядно представить взаимосвязь между отдельными основными и промежуточными переменными объектов и систем управления

Типовая функциональная схема системы автоматического управления (САУ) представлена на рис.1.5,

где

– управляющий сигнал;

– управляемый сигнал;

– возмущающее воздействие.

Кружок с четырьмя секторами является сумматором, причём сигнал, поступающий на зачернённый сектор, изменяет свой знак (вычитается).

Рассмотрим вариант системы стабилизации скорости турбины, в котором сделана попытка устранить недостатки, присущие рассмотренной выше статической системе прямого действия. На рис.1.6 показан регулятор для этой системы.

Для этого в систему введен гидравлический усилитель, включающий в себя золотник, силовой цилиндр и масляный насос. Такая система, в которой энергия регулятора потребляется от отдельного источника, называется системой непрямого действия.

При заданной скорости расстояние между грузиками центробежного регулятора равно номинальному значению (), положение плеча золотника также равно номинальному значению (), при этом поршень золотника полностью перекрывает выходные отверстия, следовательно, положение поршня силового цилиндра неизменно.

С увеличением нагрузочного момента падают обороты турбины , что приводит к уменьшению расстояния между грузиками центробежного регулятора. В результате изменяется положение поршенька золотника. Это, в свою очередь, приводит к перемещению поршня силового цилиндра, а следовательно, и к дополнительному приоткрытию заслонки . Соответственно увеличивается расход пара, возрастает скорость оборотов турбины и увеличивается расстояние . Статика (установившееся состояние) в системе возможна только тогда, когда , то есть когда полностью перекрыты перепускные отверстия золотникового устройства.

Теоретически в этой системе статическая ошибка равна нулю, то есть данная система является астатической. В ней отсутствует статическая связь между скоростью и положением заслонки.

Рассмотрим упрощенные уравнения системы. Начнём с уравнения объекта. Очевидно, что изменение скорости турбины может происходить лишь в тех случаях, когда нарушается равновесие между движущим моментом турбины и моментом нагрузки :

, (1.1)

где – суммарный момент инерции, приведённый к валу турбины.

С целью упрощения в уравнении (1.1) использованы приращения скорости и моментов. Более подробно такой подход будет рассмотрен в разделе, посвященном линеаризации систем.

Будем полагать, что приращение момента турбины пропорционально приращению количества подаваемого пара

.

Запишем уравнение центробежного регулятора. Полагая, что сами отклонения скорости и вызванные ими приращения внутренних переменных регулятора малы, мы можем выразить все зависимости в линейном виде. Тогда приращение скорости раскрытия грузиков и изменение положения поршенька золотника будут связаны линейными зависимостями:

(1.2)

Составляя уравнение гидравлического усилителя, учтём, что скорость перемещения поршня силового цилиндра пропорциональна величине открытия перепускных отверстий золотника, то есть приращению :

. (1.3)

Приращение координаты штока силового цилиндра повлечет за собой изменение положения заслонки и, следовательно, изменение количества подаваемого в турбину пара:

. (1.4)

Продифференцировав уравнение (1.4) и учитывая уравнения для центробежного регулятора (1.2) и гидравлического усилителя (1.3), получим уравнение для регулятора:

, (1.5)

где - коэффициент регулятора.

Запишем совместно уравнения объекта и регулятора

продифференцируем первое уравнение и подставим в него второе:

.

При условии постоянства нагрузки получаем уравнение свободного движения всей системы

, (1.6)

где

.

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

,

его корни -

.

Таким образом, решение уравнения (1.6) имеет вид

, (1.7)

где и определяются начальными условиями.

В результате решения получили, что в данной системе в принципе не существует установившегося (статического) состояния. Следовательно, система неработоспособна.

С целью успокоения незатухающих колебаний (1.7) введём в систему демпфер (рис.1.7) и рассмотрим, что в ней происходит при изменении нагрузки. С увеличением нагрузочного момента уменьшается скорость вращения турбины , что приводит к уменьшению расстояния между грузиками центробежного регулятора. Это влечет за собой изменение положения поршенька золотника , а следовательно, и изменение положения поршня силового цилиндра. При этом одновременно происходит два процесса.

Во-первых, вместе со штоком силового цилиндра опускаются поршень и цилиндр демпфера, уменьшая первоначальное изменение . Скорость перемещения поршня демпфера относительно его цилиндра невелика и регулируется с помощью специального дросселя Др.

Во-вторых, приоткрывается заслонка, увеличивая количество подаваемого в турбину пара, и начинает расти скорость .

За счёт первого движения поршни золотника могут перекрыть перепускные отверстия ещё до восстановления номинального значения . В то же время пружины стремятся вернуть демпфер в исходное положение, и, в конечном итоге, стремится к нулю. Теперь уже перепускные отверстия золотника будут перекрыты только при номинальной скорости. Следовательно, система с демпфером, как и предыдущая, является астатической.

Рассмотрим, как повлияло введение демпфера на незатухающие колебания, выявленные в предыдущем варианте системы. Считая отклонения от номинального режима малыми, запишем уравнения элементов регулятора. Как и раньше,

; (1.8)

(1.9)

В отличие от предыдущей системы, в данном случае положение штока золотника зависит не только от центробежного регулятора, но и от демпфера:

. (1.10)

Упрощенные уравнения демпфера основываются на равенстве сил пружин:

и сил, связанных с перемещением поршня демпфера относительно корпуса:

.

Переходя к преобразованиям Лапласа при нулевых начальных условиях, запишем равенство этих сил в виде

,

или

.

Таким образом, изображения перемещений штока силового цилиндра и корпуса демпфера связаны соотношением

(1.11)

где постоянная времени демпфера

Из (1.9) и (1.10) следует:

,

а с учётом (1.11) получаем

,

откуда

. (1.12)

Используя равенства (1.8), (1.12) и (1.4), получим связь между входом регулятора и его выходом :

, (1.13)

где

; .

Если , то (1.13) упрощается:

.

Это равенство можно разрешить относительно :

.

Введём обозначения

;

и окончательно получим уравнение регулятора, в котором выходная величина формируется как сумма пропорциональной и интегральной составляющих ошибки стабилизации :

. (1.14)

Запишем уравнение объекта (турбины) относительно изображений по Лапласу его входной и выходной переменных:

. (1.15)

Продифференцируем последнее равенство и подставим в него уравнение регулятора (1.14). В результате получим уравнение системы в целом:

(1.16)

Корни соответствующего характеристического уравнения

всегда имеют отрицательные вещественные части. Это означает, что в отличие от предыдущего случая свободная составляющая решения уравнения (1.16) с течением времени стремится к нулю. Таким образом, введение демпфера позволило получить устойчивую, работоспособную систему.

Разработчики первых систем автоматического регулирования столкнулись со случаями катастрофической неустойчивости, на первый взгляд, безукоризненных систем. В 1845 году братья Вильям и Вернер Сименсы предложили метод регулирования по производной. Существо их предложения можно пояснить на примере следящей системы, функциональная схема которой приведена на рис.1.8. На рис.1.9 представлен фрагмент переходных процессов по выходной координате , рассогласованию (ошибке) и производной рас­сог­ласования . Хотя в точках А1 и А2, В1 и В2 отклонения выходной координаты от входной соответственно равны, управляющие воздействия на объект должны быть различными, так как в точках А1 и В2 выходная координата движется к требуемому значению, а в точках В1 и А2 - удаляется от него. Учитывая инерционные свойства объекта, целесообразно в формирователе закона управления реализовать управля­вшее воздействие U, пропорциональное сумме . Добавление сигнала производной уменьшит абсолютную величину управ­ления в точках А1 и В2 и увеличит её в точках B1 и A2.

Распространение автоматических регуляторов вызвало потребность в разработке теоретически обоснованных методов их расчета. В 1866 году выходит в свет статья Д.К.Максвелла "О регуляторах". В 1876 году появилась работа, оказавшая большое влияние на науку о регулировании - труд профессора И.А. Вышнеградского "Об общей теории регуляторов". В этой работе было выведено условие устойчивости для линейных систем третьего порядка и даны конкретные указания о том, как влияют конструктивные параметры на устойчивость. И.А. Вышнеградский явился основоположником классической теории регулирования. Работы Вышнеградского были продолжены словацким учёным А. Стодолой. По его просьбе швейцарский математик А. Гурвиц в 1895 году ввел алгебраи­ческие условия устойчивости для линейных систем любого порядка. Долгое время оставалась неизвестной инженерам аналогичная работа Е.Д.Рауса, выполненная им еще в 1877 году по просьбе Д.К.Максвелла.

Лишь впоследствии, с развитием вычислительной техники, стало ясно, что критерий Рауса обладает гораздо большей алгоритмической и вычислительной мощностью и весьма удобен для использования на ЭВМ.

Рис. 1.9. К введению производной ошибки

в закон регулирования

Большой вклад в теорию автоматического регулирования внес из­вестный русский ученый Н.Е. Жуковский. В 1880 году вышла его работа "О прочности движения". Он читал лекции по теории регуляторов в Московском университете, Математическом обществе и Московском тех­ническом училище. В 1909 году вышел его учебник по классической теории регулирования - "Теория регулирования хода машин".

Основы общей теории устойчивости динамических систем были за­ложены выдающимся русским учёным А.М. Ляпуновым. В своей докторской диссертации в 1892 году им впервые были сформулированы условия ус­тойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений, дано строгое определение понятия устойчивости, разработаны два основных метода исследования устойчивости: первый метод Ляпунова исследования устойчивости в малом и второй, прямой метод исследования устойчивости в большом.

В те годы, по-видимому, еще никто не подоз­ревал о будущей роли теории А.М. Ляпунова в общей теории управления. Лишь в 40-50 годах его теоремы заработали в полную силу.

В 1932 году американский учёный Х.Найквист разработал теорию устойчивости усилителей с обратной связью. В 1936 году молодой со­ветский ученый А.В. Михайлов распространил критерии Найквиста на системы автоматического регулирования и предложил свой собственный критерий устойчивости, который с тех пор называется его именем.

В 1937 году вышла большая работа советских учёных А.А. Андро­нова, С.Э. Хайкина и других по теории нелинейных колебаний, где впервые были введены понятия периодических режимов, автоколебаний, фазового пространства.

Сороковые годы нашего столетия отмечены бурным развитием час­тотных методов, и большую роль в их пропаганде и внедрении в прак­тику проектирования в нашей стране сыграли профессор В.В. Солодовни­ков и его ученики, в это же время Н. Винер и А.Н. Колмогоров создают теорию синтеза статистически оптимальных систем. В 1948 году К.Ф. Теодорчиком в СССР и в 1950 году В.Р.Ивенсом в США закладываются осно­вы теории корневых годографов.

В 50-60 годы развивается новое перспективное направление - теория оптимального управления. У истоков этой теории стояли совет­ские ученые А.А. Фельдбаум, Л.С. Понтрягин, А.М. Летов, Е.А. Барбашин, А.А. Красовский, Н.Н. Красовский, американские учёные Р. Беллман, Р. Калман и другие.

В 60-е годы М.А. Айзерманом и В.М. Поповым разрабатывается теория абсолютной устойчивости нелинейных систем. Большой вклад в теорию импульсных и цифровых систем автоматического управления внесли Ю.Ту, Я.З. Цыпкин, Л.Т. Кузин, Э. Джури. В.С. Пугачёв обогатил теорию управ­ления разработкой вопросов статистической динамики. Родоначальником теории дифференциальных игр является академик Н.Н. Красовский. Продуктивную работу в области распознавания образов и управления в условиях неопределённости ведут математики Екатеринбурга. Всемирно известны работы российских учёных Б.Н. Петрова и С.В. Емельянова в области те­ории и практики адаптивных систем.

Теория автоматического управления (ТАУ) – это наука, которая, абстрагируясь от конкретного исполнения различных объектов и систем АУ, изучает особенности установившихся и динамических режимов этих систем и предлагает методы проектирования управления, обеспечивающего выполнение требований, предъявляемых к ходу управляемого технологического процесса.

По принципу формирования управления системы автоматического управления (САУ) подразделяются на следующие:

§ разомкнутые,

§ замкнутые,

§ комбинированные.

По цели управления САУ подразделяют на системы:

§ стабилизации,

§ программного управления,

§ следящие.

ТАУ работает с математическими моделями объектов системы управления, сочетает анализ и синтез.

По математическому описанию и по свойствам САУ подразделяются на следующие типы:

§ обыкновенные системы – системы, которые описываются дифференциальными или разностными уравнениями с сосредоточенными параметрами;

§ системы с распределенными параметрами;

§ непрерывные системы – системы, все координаты (переменные) которых являются непрерывными функциями времени;

§ дискретные системы – системы, в которых хотя бы одна из координат (переменных) является импульсной (дискретной или решётчатой) функцией времени;

§ детерминированные системы – системы с постоянными или изменяющимися известным (детерминированным) образом параметрами;

§ стохастические системы – системы, параметры которых изменяются во времени случайным образом;

§ линейные системы – системы, которые описываются линейными дифференциальными или разностными уравнениями;

§ нелинейные системы– системы, которые описываются нелинейными дифференциальными или разностными уравнениями;

§ традиционные одноуровневые системы – системы с регулированием только основных переменных;

§ системы с адаптивным управлением, в которых кроме основного контура с отрицательной обратной связью имеется контур, оценивающий текущие параметры управляемого объекта и соответствующим образом изменяющий управляющее воздействие или перестраиваемые параметры регулятора;

§ оптимальные системы.

Более подробная и обстоятельная классификация систем автоматического управления приведена в обширной литературе по теории управления. В частности, можно порекомендовать учебник А.А. Красовского и Г.С. Поспелова [7].

Дата добавления: 2015-03-31