Однородные дифференциальные уравнения

Линейные системы, заданные обыкновенными дифференциальными уравнениями в нормальной форме Коши

Рассмотрим прежде всего решение однородного векторно-матричного дифференциального уравнения

, (2.3.1)

где каждому начальному условию соответствует одно и только одно решение дифференциального уравнения. Будем полагать, что матрица непрерывна на промежутке . Множество всех решений образует n-мерное векторное пространство. Среди множества решений всегда может быть выбрано n линейно независимых.

Это может быть сделано следующим образом. Зададим начальные условия , где , совпадающие с базисными векторами пространства , то есть . Из свойства единственности решений дифференциальных уравнений (через любую точку пространства состояний проходит одна и только одна траектория) следует линейная независимость решений с указанными начальными условиями. Матрица , столбцами которой являются линейно независимых решений системы (2.3.1), называется фундаментальной матрицей этой системы дифференциальных уравнений.

Поскольку каждый столбец фундаментальной матрицы является решением системы (2.3.1), то фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению

, при начальных условиях . (2.3.2)

По определению в любой момент времени столбцы этой матрицы линейно независимы, значит, ее определитель (определитель Вронского) не равен нулю на промежутке . Так как определитель матрицы не равен нулю, то существует обратная матрица . Матрица

(2.3.3)

называется переходной матрицей уравнения (2.3.1) или переходной матрицей, соответствующей матрице . Переходная матрица является определяющей при анализе и решении дифференциальных уравнений и собственно в теории управления. Поэ­тому ниже приводятся основные её свойства, в основном непосредст­венно вытекающие из определения этой матрицы.

1). Переходная матрица при совпадающих значениях первого и второго аргумента становится единичной матрицей:

.

2). При любых значениях аргументов переходная матрица не вырождена и её определитель не равен нулю:

.

3). Обращение матрицы эквивалентно изменению порядка аргументов исходной матрицы:

.

4). Если в качестве фундаментальной матрицы начальных условий принять единичную матрицу, , то при всех прочих t переходная матрица будет совпадать с фундаментальной матрицей.
. Но – это решение матричного дифференциального уравнения (2.3.2). Поэтому переходная матрица может быть определена как решение матричного дифференциального уравнения:

(2.3.4)

5). Переходная матрица определяет решение однородного векторно-матричного дифференциального уравнения (2.3.1), удовлетворяющее начальному условию :

. (2.3.5)

Это действительно так, ибо, во-первых, при

,

во-вторых, с учетом свойства (4):

.

6). Из предыдущего свойства следует один из способов определения переходной матрицы. Обозначим через элемент i-й строки и j-го столбца переходной матрицы и запишем равенство (2.3.5) в развернутом виде:

,

откуда следует выражение для i-й координаты вектора состояния:

Если положить начальные условия по всем координатам вектора состо­яния, кроме j-й, нулевыми, а по j-й - единичными, то есть

при и , (2.3.6)

то элемент i-й строки и j-го столбца матрицы можно определить как процесс по i-й координате вектора состояния:

(2.3.7)

7). К переходной функции применимо правило композиции:

(2.3.8)

Действительно, решение уравнения (2.3.1) в момент t₁ при начальных условиях имеет вид

Если теперь этот результат принять за новые начальные условия, то к моменту времени будем иметь:

8). Переходная матрица может быть вычислена с помощью ряда Пеано, или матрицианта матрицы :

где

Для того чтобы получить этот результат, проинтегрируем дифференциальное уравнение (2.3.1):

.

Теперь повторим эту процедуру многократно, учитывая, что

Тогда получим

Если объект – стационарный и матрица А состоит из постоянных и не зависящих от времени элементов, то матрициант матрицы А (или ряд Пеано) превращается в выражение для матричной экспоненты:

(2.3.9)

Очевидно, что в стационарном случае переходная матрица является уже функцией только одного аргумента, равного разности начального и текущего (конечного) времени:

(2.3.10)

Переходная матрица для стационарного объекта обладает рядом дополнительных замечательных свойств, трансформирующихся из соответствующих свойств переходной матрицы для нестационарного объекта:

из 1) - ; (2.3.11)

из 3) - ; (2.3.12)

из 4) -

; (2.3.13)

из 5) - решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

; (2.3.14)

из 7) - . (2.3.15)

Дата добавления: 2015-03-31