Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Вычисление опорных реакций

Пример решения задачи 5

Выполним расчёт при следующих значениях: сосредоточенные силы. Р ₁ = 0 и Р ₂ = 16кН, сосредоточенные моменты М ₁ = 0 и М ₂= -30 кН∙м, интенсивность распределённой нагрузки q ₁ = 0 и q ₂ = -20 кН/м, длины участков L ₁ = 2 м и L ₂ = 3 м.

Сначала по заданным значениям построим реальную балку (см. рис. 5.4, б). Далее для выполнения расчётов нужно знать величины реактивных сил R_A и R_B, возникающих в опорах А и В, которые вычислим из уравнений равновесия балки

Для данной балки они принимают вид:

Из этих уравнений получаем

Для проверки правильности найденных реакций опор составим неиспользованное уравнение равновесия

:

Имеем тождество, значит, реакции опор найдены верно.

В поперечных сечениях балки возникают поперечные силы Q_y и изгибающие моменты М_х. Значения Q_y и М_х изменяются вдоль балки, для получение их максимальных значенийстроят графики ̶ эпюры Q_y и М_х. Значения Q_y и М_х вычисляют по участкам балки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты и силы, а также начало и конец распределённой нагрузки. Для каждого участка применяются правила РОЗУ метода сечений:

1) Р азрезать балку на 2 части.

2) О тбросить одну из частей.

3) З аменить воздействие отброшенной части на оставленную усилиями Q_y и М_х.

4) У равновесить внешнюю нагрузку и внутренние усилия Q_y и M_x, составив два уравнения равновесия отсечённой части:

(5.2)

Заметим, что здесь за точку О выбираем центр тяжести текущего сечения, и составляем уравнение моментов относительно этой точки от всех воздействий, действующих на оставленную часть балки.

Разобьём балку на два грузовых участка(рис. 5.4, а) и рассмотрим вычисление усилий Q_y и M_x на каждом.

1-й участок: , где z ₁– координата текущего сечения. Рассмотрим кусок первого участка балки длиной z ₁, расположенный по левую сторону от сечения. В сечении возникают изгибающие моменты М_х ¹ и поперечные силы Q_y ¹, которые предполагаем положительного направления: поперечная сила положительна, если её вектор стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке; изгибающий момент M_x в сечении будем считать положительным, если балка изгибается выпуклой стороной вниз.

Слева от сечения расположена только сила R_A, поэтому записываем:

, .

Выражение поперечной силы Q_y ¹ не содержит переменных, следовательно, на 1-м участке на эпюре Q_y значение постоянно и равно 14,4 кН. Отложим вверх от нулевой линии это значение в масштабе и построим на 1-м участке эпюры Q_y прямоугольник (рис. 5.4, в).

Выражение М_х ¹ соответствует уравнению прямой. Подсчитаем величины моментов при граничных значениях (z ₁=0 и z ₁= l):

При z= 0 ; при м кН∙м.

На базисной линии отложим эти значения и проводим наклонную прямую эпюры M_х на 1-м участке (рис. 5.4, г).

а б в г

Рис. 5.4

Рассмотрим 2-й участок: . Возьмём участок балки слева от сечения и по (5.2) получаем

Подсчитаем значения и для граничных значений :

при z₂= 0

приz₂= 3 м кН; .

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построим эпюры Q_y и M_x на 2-м участке. Сила изменяется линейно, поэтому, отложив в начале 2-го участка кН и в конце кН, соединим эти точки наклонной прямой (рис. 5.4, в), которая пересекает базисную линию в точке К. Так как функция момента имеет второй порядок по отношению к переменной z ₂(это результат наличия распределённой нагрузки на этом участке), то при изображении момента должны изобразить параболу.

Уточним вид этой параболы с помощью эпюры Q_y и теоремы Д.И. Журавского (4.3) об интегрально-дифференциальной зависимости функций Q_y и М_x. На эпюре сил Q_y имеем пересечение наклонной линии Q_y с базисной прямой (в точке К). Это внесёт следующую поправку в изображение параболы: в точке К получается перегиб кривой, и момент получает экстремальное значение . Для вычисления момента необходимо найти абсциссу этого сечения . Величину определяем из уравнения , которое принимает вид: . Получаем м.

Подсчитаем значение экстремального момента как момента при м:

кН·м.

Отложив значения моментов в начале, в конце участка и в сечении К, построим эпюру моментов на 2-м участке (рис. 5.4, г). Целью построения эпюр является получение максимального (расчётного) значения M _max. На построенной эпюре моментов M _max=28,8кН·м.

Дата добавления: 2015-06-04