В частности, в матрице могут быть несколько одинаковых строк или столбцов (дублирование) стратегий, то из них естественно оставить только одну строку или столбец

Стратегии, над которыми доминируют другие, естественно отбросить и приписать им нулевые вероятности. На цене игры это никак не скажется, но зато размерность матрицы понизится.

Аналогично, если i-й столбец по элементно не меньше j-го столбца, то говорят, что j- й столбец доминирует над i-м столбцом - игроку В не выгодно. Поэтому игроку В не выгодно использовать i-ю стратегию.

Данный прием в теории игр используется для уменьшения размерности платежной матрицы.

Решим задачу в EXCEL.

Определить оптимальную стратегию игрока А.

Платежная матрица:

Следуя вышесказанному, составим задачу линейного программирования (почему без двойственной?):

0,66у₁ + у₂ + у₃ + у₄ + у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + 0,88у₂ + у₃ + у₄ + у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + у₂ + 0,84у₃ + у₄ + у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + у₂ + у₃ +0,6 у₄ + у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + у₂ + у₃ + у₄ +0,5 у₅ + у₆ ≥ 1

у₁ + у₂ + у₃ + у₄ + у₅ +0,8 у₆ ≥ 1

G= у₁ + у₂ + у₃ + у₄ + у₅ + у₆ → min

у₁= 0,11 у₂= 0,32 у₃= 0,24 у₄= 0,09 у₅= 0,07 у₆= 0,19

v= 1/ (0,11 + 0,32 + 0,24 + 0,09 + 0,07 + 0,19)=0,98

p₁= 0,11*0,98=0,108

p₂= 0,32*0,98=0,313

p₃= 0,24*0,98=0,235

p₄= 0,09*0,98=0,088

p₅= 0,07*0,98=0,068

p₆= 0,19*0,98=0,186

Рекомендация - Гавайские острова.

Доминирование стратегий

Пусть i-я строка по элементно не меньше (≥) j-й строки, тогда говорят, что i-я строка доминирует над j-й строкой. Поэтому игроку А не выгодно пользоваться j-й чистой стратегией- ведь его выигрыш при i-й чистой стратегии не меньше, чем при j-й чистой стратегии вне зависимости от того, как играет В.

Пример

Упростить (редуцировать) платежную матрицу используя принцип доминирования:

Студенту рекомендуется подробно разобрать все этапы.

Дальнейшее упрощение невозможно!

§ 11. Итерационный метод (Брауна – Робинсона).

Во многих случаях решение матричных игр представляет сложный и громоздкий процесс. Кроме того, часто в практических задачах нет необходимости находить точное решение игры. Достаточно найти приближенное решение.

Рассматриваемый приближенный метод отличается достаточной простотой. Суть его в том, что матричная игра имитируется (фиктивно разыгрывается несколько раз, в несколько туров), при этом накапливаются статистические данные об игре. По ним и вырабатываются рекомендации (математическая статистика!) об оптимальных стратегиях игроков.

Продемонстрируем работу метода на примере [15]:

Игра задана платежной матрицей (таблицей):

Средний выигр.

Стр. А

Выбирает В

Стр. В

Выбирает А

№ тура	i	B1	B2	B3	j	A1	A2	v*	v^*	v
										2
								1,5		1,75
										1,5
								1,5		1,75
								1,6		1,8
								1,67	1,83	1,75
								1,57	1,71	1,64
								1,625	1,75	1,69
								1,67	1,78	1,72
							17	1,6	1,7	1,65

1 тур:

Пусть игрок А выбирает 2-ю стратегию (max min)- в наихудшем случае он выиграет 1, а не 0). У игрока В три стратегии. Какую он выберет? Конечно 1-ю (он хочет проиграть поменьше!). Выделим соответствующий проигрыш синим цветом (или подчеркнем). Итак, игрок В выбрал 1-ю стратегию. Отметим это в 6-м столбце чертой сверху.

Как же ответит А? Конечно 1-й стратегией – отметим чертой снизу. Выделим в клетках накопленные выигрыши (проигрыши).

v_* - накопленный проигрыш игрока В/ число ходов

v^* - накопленный выигрыш игрока А/ число ходов

Дата добавления: 2015-06-04