Теория ожидаемой полезности

Лекция № 13

Простым распределением вероятностей p называется вещест­вен­ная функция, которая принимает положительные значения на боль­шинстве элементов x из конечного множества X, причем сумма всех значений p(x) равна 1.

Пусть P - множество всех простых распределений вероятностей p, q,..., заданных на непустом множестве X. Следует отметить, что, если множество X содержит более одного элемента, то множество P будет не­ис­числимым.

Элементами X могут быть чистые стратегии или альтернативы, ли­бо же они могут представлять собой исходы (последствия) некоторых ре­шений, принимаемых в ситуациях, содержащих элемент риска; вероят­ность таких исхо­дов описывается некоторым распределением из P. В за­висимости от контекста распределения из P называют ставками, игра­ми, лотереями, альтернативами риска, смешанными стратегиями или рандомизи­ро­ванными стратегиями.

Для любых распределений p и q из P выражение a×p+(1-a)×q назы­вается прямой линейной комбинацией распределений p и q; где a - дейст­вительное число и 0≤ α ≤1. Если r=α·p+(1-α)·q, то для любого x из X r(x)= α·p(x)+(1-α)·q(x). Если и 0≤ α ≤1, то .

Пример

Пусть элементами X являются некоторые суммы денег и пусть

p (0)=0,3; p (10)=0,2; p (20)=0,5; q (7)=0,7; q (10)=0,3; a =0,5 и r=α·p+(1-α)·q,

тогда r (0)=0,15; r (7)=0,35; r (10)=0,25; r (20)=0,25.

Аналогично рассмотренному ранее и на множестве P можноввес­ти от­но­шение предпочтения f и функцию полезности. Так, например, ве­щес­твенная функция u, заданная на множестве P, является функцией по­лезности для от­но­ше­ния f, если для всех .

В рассматриваемом случае наличие определенных структурных свойств у множества P приводит к тому, что функция полезности u обла­дает свойством линейности, т.е.

u(α·p+(1-α)·q)= α·u(p)+(1- α)·u(q) (1)

для всех 0≤ α ≤1 и для всех p и q, принадлежащих P.

Функция полезности u, определенная для отношения f на P, на­зы­вается линейной функцией полезности, если для нее выполняется ра­вен­ство (1). Аналогично, если u - совершенная функция полезности, ко­то­рая удовлетворяет условию (1), то она на­зы­вается совершенной линейной функцией полезности.

На основе функции полезности u, определенной для отношения f на P, введем вспомогательную функцию v на X

v(x)=u(p), когда p(x)=1. (2)

Определим отношение предпочтения на X так, что тогда и толь­ко тогда, когда при p(x)=1 и q(y)=1. В этом случае v бу­дет функ­цией по­лезности для отношения на X при условии, что u яв­ляется функцией по­лез­ности для отношения f на P.

Пусть - различные элементы множества X и

.

Считая u линейной функцией полезности, можно получить

. (3)

Согласно этому выражению, полезность p равна математи­чес­ко­му ожи­да­нию дополнительной функции v с распределением вероятностей p, заданном на X.

Если рассматривать v(x) как полезность исхода, то выражение (3) озна­ча­ет, что полезность некоторой альтернативы (с элементом риска) рав­на ожи­дае­мой полезности для исходов, которые могут иметь место при использовании этой альтернативы.

Соотношение (3) очень важно, так как его можно использовать при мас­шта­бировании и вычислении полезности. Если функция v(x) опре­де­ле­на на X и масштабирована таким образом, что это согласуется с ус­ло­вием линейности и выражением (2), то с помощью равенства (3) мож­но вычислить функцию u(p) для любого p из множества P.

Пусть отношение f на P является слабым упорядочением, и u - совершенная линейная функция полезности. В этом случае значе­ние любого (одного) из элементов v(x), v(y) и v(z), например, v(y), можно однозначно вы­ра­зить через два других, если определить значение a, при котором y находится в отношении безразличия к лотереи, имею­щей исход x с вероятностью a и исход z с вероятностью (1 - a). Пусть та­ким значением является , тогда

. (4)

Следует отметить, что в реальной ситуации психологические осо­бен­­ности человека могут сделать поставленную задачу достаточно слож­ной, так как ока­зы­вается трудно определить точное значение , при ко­то­ром y находится в отношении безразличия к лотереи.

Пусть u - совершенная линейная функция полезности для отно­ше­ния f на P. Тогда также является совершенной линейной функ­цией полезности для отно­ше­ния f на P тогда и только тогда, когда су­щест­вуют действительные числа b>0 и c такие, что для всех p из P, т.е. и u связаны аффинным (линейным) положитель­ным (возрастающим) преобразованием.

Следует отметить, что при этом при всех x из X.

Итак:

1) если x и y - два элемента множества X такие, что , то v(x) и v(y) могут быть любыми двумя числами, удовлетворяющими условию ;

2) для данных v(x) и v(y) значение v(z) однозначно определяется из уравнения (4) для каждого z из X.

Определив таким образом функцию v на X, можно полностью построить совершенную линейную функцию полезности u на P, вы­чис­лив ее с помощью соотношения (3).

Дата добавления: 2015-06-04