Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

План лекции. 1. Непрерывные случайные величины




Читайте также:
  1. B. К шестой и седьмой лекции
  2. В лекции рассказывается о базовых терминах цифровой схемотехники, о цифровых сигналах, об уровнях представления цифровых устройств, об их электрических и временных параметрах.
  3. Вопросы к лекции
  4. Вопросы к лекции
  5. Вопросы к лекции
  6. Вопросы лекции
  7. Вопросы лекции
  8. Вопросы по лекции
  9. ВЫВОД ПО ЛЕКЦИИ
  10. Доп. вопросы к Лекции 11
  11. Избранные лекции по педагогике.
  12. Краткий конспект лекции

Лекция 7

1. Непрерывные случайные величины.

2. Функция распределения случайной величины.

3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины

Дискретная СВ характеризуются таблицей распределения. Однако задать СВ можно иначе, например, с помощью так называемой функции распределения. Этот способ задания СВ носит более общий характер. Он приводит к рассмотрению непрерывных СВ.

Рассмотрим событие, состоящее в том , что СВ Х примет значение Х<х. Обозначим вероятность этого как:

F(х)=P(X<x) (1)

Cлучайную величину можно считать полностью охарактеризованной, если для каждого х (-∞<х+∞) известно значение функции (1), которая называется функцией распределения СВ Х.

Функция распределения каждой дискретной СВ постоянна на интервалах, на которых нет ее значений, и имеет скачки в точках, соответствующих ее значениям. Скачки равны вероятностям, с которыми СВ принимает свои значения.

Теорема. Вероятность того, что СВ Х примет какое-нибудь значение в интервале х1≤Х<х2,равна приращению ее функции распределения F(x) на этом интервале:

Р(х1≤Х<х2)=F(x2)-F(x1) (2)

Теорема. Функция распределения любой СВ является неубывающей функцией, причем при изменении от -∞ до +∞ ее значения изменяются от 0 до 1.

Определение непрерывной СВ. СВ называется непрерывной, если ее функция распределения всюду непрерывна, а ее производная непрерывна во всех точках, за исключением, быть может, конечного числа точек на любом интервале.

Примеры непрерывных СВ: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера; рост человека; дальность полета снаряда и.т.д.

Пусть построен график функции распределения F(x) некоторой непрерывной СВ.

Ордината │АВ│ графика при Х=х1 геометрически изображает вероятность того, что СВ примет какое-нибудь значение, меньшее х1,а не вероятность того, что она примет значение х2.

Можно показать, что вероятность Х=х1 равна нулю. Событие Х=х1 влечет событие

x1-h≤X<x1+h,где h>0. Поэтому Р(Х=х1)≤Р(х1-h≤X<x1+h).Применим формулу (2):

P(X=x1)≤F(x1+h)-F(x1-h).

Если h→0,то и правая часть неравенства стремится к нулю, т.к. F(x) непрерывна, следовательно:

, или Р(Х=х1)0, откуда Р(Х=х1)=0, поскольку вероятность любого события не может быть отрицательной.

Отсюда, в частности, следует, что для непрерывных СВ вероятности Р (х1Х<х2),Р(х1<Х<х2),

Р(х1<Хх1) и Р(х1Хх2) совпадают.

Если непрерывная СВ может принимать только значения в границах от а до b, где а и b -некоторые постоянные, то ее функция распределения равна нулю для всех значений х а и единице для всех значений х > b, поскольку события Х<х для любого ха являются в этом случае невозможными, а для любого х b -достоверными.



Пример. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Пусть часы показывают а минут. Тогда истинное время в данный момент является случайной величиной. Найти ее функцию распределения.

Решение. Очевидно, что функция распределения истинного времени равна нулю при х≤а и единице при х>а+1.Время течет равномерно. Вероятность того, что истинное время меньше а+0,5 минут, равна 0,5,т.к. одинаково вероятно, прошло ли после а менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время меньше, а+0,25 минут, равна 0,25 и.т.д. Функция распределения истинного времени имеет такое выражение:

 

Она непрерывна всюду, а ее производная непрерывна во всех точках, за исключением х=а и х=а+1

 

СВ Х1 и Х2 называются независимыми, если для любых х1 и х2 события Х11 и Х22 независимы. Для вероятности произведения этих событий справедлива формула:

Р(Х11; Х22)=Р(Х11)Р(Х22).

Это неравенство можно переписать с помощью функций распределения F1(x) и F2(x):

P(X1<x1;X2<x2)=F(x1)F(x2).





Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 183; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2018) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление ip: 54.81.196.35
Генерация страницы за: 0.002 сек.