Должно быть 10 страница

Ударная волна может соприкасаться с телом только если его передний конец заострен. Тогда поверхность разрыва тоже обладает точкой заострения, совпадающей с острием тела (рис, 127,6); при несимметричном обтекании часть этой поверх­ности может являться поверхностью слабого разрыва. Для тела заданной формы такой режим обтекания оказывается, однако, возможным лишь при скоростях, превышающих определенный предел; при меньших скоростях ударная волна отрывается от носика тела, несмотря на налачие острия (см. § 113).

Рассмотрим осесимметричное сверхзвуковое обтекание тела вращения и определим давление на переднем закругленном кон­це тела (в точке остановки — точка О на рис. 127,а). Из сооб­ражений симметрии очевидно, что линия тока, заканчивающаяся в точке О, пересекает ударную волну в нормальном к ней на­правлении, так что в точке А нормальная к поверхности раз­рыва компонента скорости совпадает с полной скоростью. Зна­чения величин в набегающем потоке отмечаем, как обычно, индексом 1, а значения величин в точке А на задней стороне ударной волны — индексом 2. Последние определяются по фор­мулам (89,6—7) в виде

Р2 = ₇у_Т[2уМ?-(у-1)],
2 + (Y-l)M² (Y+DM²

Vo — Ct, р, = Р[ -.

² (V + DMj ^V- ^Kl 2 + (Y-l)M?

Давление р₀ в точке О (в которой скорость газа v = 0) можно получить теперь с помощью формул, определяющих изменение величин вдоль линии тока. Имеем (см. задачу к § 83) з

Г, У — ¹ А1

V

Y-1

и простое вычисление приводит к следующему результату:

^K^fl'-W]""- <>*■•>

Этим и определяется давление на переднем конце тела, обтекае­мого сверхзвуковым потоком (Mi > 1).

Для сравнения приведем формулу для давления в точке оста­новки, которое получилось бы в результате непрерывного адиа­батического торможения газа без ударной волны (как это было бы при дозвуковом обтекании):

V

Po==Pi(l +¹—M²)^Y_l. (122,2)

При Mi = 1 обе формулы дают одинаковое значение р₀, а при

Mi > 1 давление (122,2) всегда превышает истинное давление, даваемое формулой (122,1)').

В предельном случае очень больших скоростей (Mi ^> 1) формула (122,1) дает

Ро^.^ГУ^М², (122,3)

т. е. давление р₀ пропорционально квадрату скорости обтекания. На основании этого результата можно сделать заключение о том, что и полная испытываемая телом сила сопротивления при скоростях, больших по сравнению со скоростью звука, пропор­циональна квадрату скорости. Обращаем внимание на то, что этот закон — такой же, по которому меняется сила сопротивле­ния при скоростях, малых по сравнению со скоростью звука, но настолько больших, чтобы число Рейнольдса было достаточно велико (см. § 45).

Помимо самого факта необходимости возникновения ударных волн, можно еще утверждать, что при сверхзвуковом обтекании конечного тела на больших расстояниях от него во всяком слу­чае должны иметься две следующие друг за другом ударные волны (Л. Ландау, 1945). Действительно, на больших расстоя­ниях от тела вызываемые им возмущения слабы и поэтому их можно рассматривать как цилиндрическую звуковую волну, рас­ходящуюся от оси х, проходящей через тело параллельно на­правлению обтекания; рассматривая, как это мы везде делаем, движение в той системе координат, в которой тело покоится, мы будем иметь волну, в которой р оль врем ени играет x/v\, а роль

скорости распространения 1 (см. ниже § 123). По-

этому мы можем непосредственно применить результаты, полу­ченные в § 102 для цилиндрической волны на больших расстоя­ниях от источника. Таким образом, мы приходим к следующей картине ударных волн на далеком расстоянии от тела: в первой ударной волне давление испытывает скачок вверх, так что за ней возникает сгущение; затем давление постепенно убывает, сгуще­ние сменяется разрежением, после чего давление вновь возра-

') Это утверждение имеет общий характер и не связано с предполагае­мой в (122,1—2) политропностью газа (и даже с его термодинамической идеальностью). Действительно, при наличии ударной волны энтропия газа в точке О so > St, между тем как в ее отсутствие энтропия была бы равна si. Тепловая же функция в обоих случаях равна о»₀ = да,-)-а²/2, так как при пересечении линией тока прямого скачка уплотнения величина w -f- v²/2 не меняется. Но из термодинамического тождества dw = Т ds -f- rfp/p следует, что производная

(dp/ds)_w = — рТ < 0,

т. е. увеличение энтропии при постоянном w уменьшает давление, чем и до> называется сделанное утверждение.

стает скачком во второй ударной волне. Интенсивность пе­редней ударной волны падает с увеличением расстояния г от оси х как г—^3/4, а расстояние между обеими волнами возрастает как г¹'⁴>).

Проследим за появлением и развитием ударных волн при по­степенном увеличении числа Маха Mi. Сверхзвуковая область в газовом потоке появляется впервые при некотором значении Mi < 1 в виде области, прилегающей к поверхности обтекаемого тела. В этой области появляется по крайней мере одна ударная волна — обычно замыкающая сверхзвуковую область. По мере увеличения M_t эта область расширяется, а вместе с ней удли­няется и ударная волна, существование которой при Mi = 1 было доказано (для плоского случая) в § 120; тем самым была доказана необходимость первого появления ударной волны уже при Mi < 1. Как только М] начинает превышать единицу, по­является еще одна ударная волна — головная волна, пересекаю­щая весь бесконечно широкий натекающий поток газа. При Мь в точности равном единице, все течение впереди тела является дозвуковым. Поэтому при Mi > 1, но сколь угодно близком к единице, сверхзвуковая часть натекающего потока, а с нею и го­ловная ударная волна находятся сколь угодно далеко впереди тела. По мере дальнейшего увеличения Mi головная волна по­степенно приближается к телу.

Ударная волна в местной сверхзвуковой зоне должна каким-то образом пересекаться со звуковой линией (мы будем гово­рить о плоском случае). Вопрос о характере такого пересечения нельзя считать выясненным. Если ударная волна заканчивается в точке пересечения, то в самой этой точке ее интенсивность об­ращается в ноль, а во всей плоскости вблизи точки пересечения движение околозвуковое. Картина течения в таком случае долж­на описываться соответствующим решением уравнения Эйлера — Трикоми. Помимо общих условий однозначности решения в фи­зической плоскости и граничных условий на ударной волне, должны выполняться еще и следующие условия: 1) если по обе стороны от ударной волны движение сверхзвуковое (так будет, если в точке пересечения кончается только ударная волна, «упи­раясь» в звуковую линию), то ударная волна должна быть «при­ходящей» по отношению к точке пересечения, 2) «приходящие» к точке пересечения характеристические линии в сверхзвуковой области не должны нести на себе никаких особенностей течения (особенности могли бы возникнуть лишь в результате самого пересечения и, таким образом, должны были бы уноситься от точки пересечения). Существование решения уравнения Эйлера—

*) Для ударных волн, возникающих при осесимметричном обтекании тон­ких заостренных тел могут быть определены также и количественные коэф­фициенты в этих законах — см. примечание на стр. 644.

Трикоми, удовлетворяющего всем этим требованиям, по-види­мому, еще не доказано¹).

Другая возможность для конфигурации ударной волны и зву­ковой линии в местной сверхзвуковой зоне состоит в окончании в точке пересечения одной лишь звуковой линии (рис. 128,6); в этой точке интенсивность ударной волны отнюдь не обращается в нуль, так что течение вблизи нее является околозвуковым лишь по одну сторону от ударной волны. Сама ударная волна может при этом одним концом «упираться» в твердую поверхность, а другим (или обоими) начинаться непосредственно в сверхзвуко­вом потоке (ср. конец § 115).

§ 123. Сверхзвуковое обтекание заостренного тела

Форма, которой должно обладать тело для того, чтобы при сверхзвуковом движении быть хорошо обтекаемым, т. е. испыты­вать по взможности малую силу сопротивления, существенно от­личается от соответствующей формы для дозвукового движения. Напомним, что в дозвуковом случае хорошо обтекаемыми яв­ляются продолговатые тела, закругленные спереди и заостренные сзади. При сверхзвуковом же обтекании такого тела перед ним. появилась бы сильная ударная волна, что привело бы к силь­ному возрастанию сопротивления. Поэтому в сверхзвуковом слу­чае хорошо обтекаемое удлиненное тело должно иметь заострен-

') П. Жермен нашел несколько типов решений уравнения Эйлера — Три­коми, которые могли бы изображать пересечение ударной волны со звуковой линией, но их исследование не было по существу завершено. Некоторые из

\

\

\ \

этих типов не удовлетво­ряют поставленному выше условию (1). На рис. 128, а изображен случай, который мог бы отвечать точке окон­чания ударной волны, замы­кающей местную сверхзву­ковую область: в точке пере­сечения ударная волна и звуковая линия обе закан­чиваются и имеют общую касательную, будучи распо­ложены по разные стороны от нее (газ движется слева направо). Выполнение усло­вия (2), однако, не прове­рено. Для показателя k ре­шения указан лишь интер­вал, в котором он мог бы находиться (3/4 <£< 11/12),

но не проверено, может ли при этом быть удовлетворено условие непрерыв­ности координат на ударной волне в физической плоскости. См. Germain Р. Ecoulements transsoniques homogenes. В кн.: Progress in Aeronautical Scien­ces.— Pergamon Press, 1961, v. 5.

ным не только задний, но и передний конец, причем угол за­острения должен быть малым; если ось тела наклонена к на­правлению движения, то угол наклона (угол атаки) тоже дол­жен быть малым.

При стационарном сверхзвуковом обтекании тела такой фор­мы скорость газа даже вблизи тела будет везде лишь незначи­тельно отличаться по величине и направлению от скорости нате­кающего потока, а образующиеся ударные волны будут обладать малой интенсивностью (интенсивность головной волны убывает вместе с уменьшением раствора обтекаемого угла). Вдали от тела движение газа будет представлять собой расходящиеся звуковые волны. Основную часть сопротивления газа можно представлять себе как обусловленную переходом кинетической энергии движущегося тела в энергию излучаемых им звуко­вых волн. Это сопротивление, специфическое для сверхзвукового движения, называют волновым¹); оно может быть вычислено в общем виде при любой форме сечения тела (Th. Кагтап, N. В. Moore, 1932).

Описанный характер течения делает возможным применение линеаризованного уравнения для потенциала (114,4):

$г+Шсад)

где для краткости введена положительная постоянная

В² =4-1 (123,2)

(ось х направлена по направлению движения, индекс 1 отличает величины, относящиеся к натекающему потоку); 1/8 есть не что иное, как тангенс угла Маха.

Уравнение (123,1) формально совпадает с двухмерным вол­новым уравнением, причем x/v\ играет роль времени; a i>i/8 — роль скорости распространения волн. Это обстоятельство не слу­чайно и имеет глубокий физический смысл, так как движение газа вдали от тела представляет собой, как уже указано, имен­но излучаемые телом расходящиеся звуковые волны. Если пред­ставить себе газ на бесконечности покоящимся, а тело движу­щимся, то площадь поперечного сечения тела в заданном месте пространства будет меняться со временем, причем расстояние, до которого к моменту / распространятся возмущения (т. е. рас­стояние до конуса Маха), будет расти как vit/$; таким образом, мы будем иметь дело с «двухмерным» излучением звука (рас­пространяющегося со скоростью Ui/B) пульсирующим контуром.

') Полная сила сопротивления получается прибавлением к волновому со­противлению сил, связанных с трением и с отрывом у заднего конца тела.

Руководствуясь этой «звуковой аналогией», можно сразу же написать искомое выражение для потенциала скорости газа, вос­пользовавшись выражением (74,15) для потенциала излучаемых пульсирующим источником цилиндрических звуковых волн (на расстояниях, больших по сравнению с размерами источника), за­менив в последнем ct на я/В. Пусть S{x)— площадь сечения тела плоскостями, перпендикулярными к направлению обтекания (оси х), а длина тела в этом направлении пусть будет /; начало координат выберем в переднем конце тела. Тогда будем иметь:

x-pV

в качестве нижнего предела написан нуль, так как при х < О (как и при х > I) надо положить тождественно S(jc)e= 0.

Таким образом, мы полностью определили движение газа на расстояниях г от оси, больших по сравнению с толщиной тела '). Исходящие от тела возмущения в сверхзвуковом потоке распро­страняются, разумеется, только в область позади конуса х — — Вг = 0 с вершиной в переднем конце тела; перед этим кону­сом имеем просто ср = 0 (однородный поток). Между конусами х—pY = 0 и х — Вг = / потенциал определяется формулой (123,3); позади же конуса х — 6г = / (с вершиной в заднем конце тела) в этой формуле верхний предел заменяется постоян­ной величиной /. Оба указанных конуса представляют собой в рассматриваемом приближении слабые разрывы; в действитель­ности это — ударные волны слабой интенсивности.

Действующая на тело сила сопротивления есть не что иное, как уносимая звуковыми волнами в единицу времени х-компо-нента импульса. Выберем в качестве контрольной поверхности цилиндрическую поверхность достаточно большого радиуса г с осью вдоль оси х. Плотность потока ^-компоненты импульса че­рез эту поверхность есть

Пхг = Р^г (О[1] +»l) «Pl -fr (0| + -fj) ■

При интегрировании по всей поверхности первый член исчезает, так как интеграл от piv есть равный нулю полный поток массы газа через контрольную поверхность. Поэтому остается

F_x=-2nr\U_xrdx=-2nr_Pl J-g-fj_dx_ ₍₁₂₃,4)

— оо — оо

На больших расстояниях (в волновой зоне) производные от потенциала вычисляются так, как это было сделано в § 74 (см. формулу (74,17)), и получается:

дг ^Р дх 2к V 2r J л/х — I — Вг

Это выражение подставляем в (123,4), причем квадрат инте­грала переписываем в виде двойного интеграла; обозначая для краткости х — Br = X, получим:

4я)_х) J у(х_|,)(х-ы

Произведем интегрирование по dX; после изменения порядка ин­тегрирования оно должно производиться в пределах от боль­шего из |i и |г До +00. В качестве верхнего предела берем сна­чала некоторое большое, но конечное L, которое затем можно устремить к бесконечности. Таким образом, получим:

^F* = ~ -^Г S\⁵" S"(62) (£2 - Ei) - In 41] d%_{d\₂.

о о

Интеграл от члена с постоянным множителем ln4L тождествен­но исчезает, так как на заостренных концах тела обращается в нуль не только площадь S(x), но и ее производная S'(x). Та­ким образом, окончательно получим:

2 ¹ Ь

^F*=- -it-$$⁵"^s" ^ln&-ь>^d*«^d&>

о о

или

^f*^e_J4?*S \ S"(У S"(|₂)lnU₂-1,1^,^. (123,5) о о

Это и есть искомая формула для волнового сопротивления тонкого заостренного тела^[2]). Порядок величины стоящего здесь интеграла есть (S//^[3])^[4]/^[5], где 5 — некоторая средняя площадь се­чения тела. Поэтому

F_x~_Plv^[6]S^[7]/l^[8].

Коэффициент сопротивления удлиненного тела условимся опре­делять как

Сх = .. %₂ ■ (123,6)

относя его к квадрату длины тела. В данном случае

C^-S^[9]//⁴; (123,7)

он пропорционален квадрату площади поперечного сечения тела.

Обратим внимание на формальную аналогию между форму­лой (123,5) и формулой (47,4) для индуктивного сопротивления тонкого крыла: вместо функции T(z) в (47,4) здесь стоит функ­ция V\S'(x). Вввиду этой аналогии для вычисления интеграла (123,5) можно пользоваться тем же методом, который был изло­жен в конце § 47.

Следует также заметить, что определяемое формулой (123,5) волновое сопротивление не изменится, если изменить направле­ние обтекания на обратное,— стоящий в этой формуле интеграл не зависит от того, в каком направлении проходится длина тела. Это свойство силы сопротивления характерно именно для линеа­ризованной теории^[10]).

Наконец, несколько слов об области применимости получен­ной формулы. К этому вопросу можно подойти следующим об­разом. Амплитуда колебаний газовых частиц в излучаемых те­лом звуковых волнах — порядка величины толщины тела, ко­торую мы обозначим посредством б. Скорость же колебаний — соответственно порядка величины отношения 8v\/l амплитуды б к периоду волны l/v\. Но линейное приближение для распростра­нения звуковых волн (т. е. линеаризованное уравнение для по­тенциала) во всяком случае требует малости скорости движе­ния газа в волне по сравнению со скоростью звука, т. е. должно быть Ui/B Vib/l, или, что фактически то же:

ления тонкого крыла.

М,<//Л. (123,8)

Таким образом, изложенная теория становится неприменимой при значениях Mj, сравнимых с отношением длины тела к его толщине.

Она неприменима, разумеется, и в обратном предельном слу­чае слишком близких к единице значений Mi, когда тоже не­допустима линеаризация уравнений.

Задача

Определить форму удлиненного тела вращения, испытывающего мини­мальную силу сопротивления при заданных его объеме V и длине /.

Решение. Ввиду указанной в тексте аналогии вводим переменную 9

согласно дг —-^-(1 — cos 9) (0 ^ 6 <Г я- начало отсчета х — в переднем конце

тела) и пишем функцию f{x) = S'(x) в виде

f = — / ])Г А_п sin п9

rt=2

(условие S = 0 при х = 0, / допускает в этой сумме, как легко убедиться, лишь значения п ^ 2). Для коэффициента сопротивления имеем при этом

я v~*

Т Liⁿ

Al

ге=2

Площадь S{x) и полный объем тела V вычисляются по функции f(x) как

i 1

S = ^f{x)dx, V=^S(x)dx.

о

Простое вычисление дает

я/³.

т.е. объем определяется одним лишь коэффициентом А_г- Поэтому минималь­ное F_x достигается при равных нулю Л с л ^ 3. В результате получаем:

Г 128 (V у 9я (S_max у

^хтЫ- п \ I* J ~ 2 \ /²) •

При этом для площади сечения тела имеем S = ⁱkl²A_i sin³ 9, откуда радиус тела как функция координаты х выражается в виде

') Хотя R(x) и обращается в нуль на концах тела, но производная R'(х) обращается в бесконечность, т.е. тело оказывается незаостренным; по­этому, строго говоря, лежащее в основе метода приближение вблизи самых концов неприменимо.

Тело симметрично относительно плоскости х = 1/2').

§ 124. Дозвуковое обтекание тонкого крыла

Рассмотрим обтекание хорошо обтекаемого тонкого «крыла» дозвуковым потоком сжимаемого газа. Как и в несжимаемом газе, хорошо обтекаемое дозвуковым потоком крыло должно быть тонким и иметь заостренную заднюю и закругленную пе­реднюю кромки; угол атаки должен быть малым. Выберем на­правление обтекания в качестве оси х, а ось z —в направлении размаха крыла.

Скорость газа во всем пространстве') будет лишь незначи­тельно отличаться от скорости Vi натекающего потока, так что можно применять линеаризованное уравнение (114,4) для потен­циала:

<'-*•)£- + £■ + ■&-<>. 024..)

На поверхности крыла (которую будем называть поверх­ностью С) скорость должна быть направлена по касательной к ней; вводя единичный вектор п нормали к поверхности крыла, напишем это условие в виде

Поскольку крыло обладает уплощенной формой и угол атаки мал, то нормаль п направлена почти параллельно оси у, так что \п_у\ близко к единице, а п_х, п_г малы. В написанном условии мы можем поэтому опустить малые члены второго порядка

п_у и п_г-~, а вместо п_у написать ±1 (+1 на верхней по­верхности крыла и —1 на нижней). Таким образом, граничное условие к уравнению (124,1) приобретает вид

о,п,±-Ц- = 0. (124,2)

В силу предположенной тонкости крыла значение ду/ду на его поверхности можно вычислять просто как предел при г/-*-0.

Задачу о решении уравнения (124,1) с условием (124,2) можно легко привести к задаче об обтекании несжимаемой жид­костью. Для этого введем вместо координат х, у, z переменные

х' = х, у' = ул/1 -М?, z' = z\J\ - М?. (124,3)

В этих переменных уравнение (124,1) принимает вид

') За исключением лишь небольшой области вблизи передней кромки крыла — вблизи линии остановки газа.

дх" ' ду" • дг"

§ 124]

ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА

т. е. переходит в уравнение Лапласа. Что касается формы обте­каемой поверхности, то введем вместо нее другую, С, оставив неизменным профиль сечений крыла поверхностями, параллель­ными плоскости х, у, уменьшив только в отношении (l —Mi)¹'² все размеры вдоль размаха крыла (оси г).

Граничное условие (124,2) приобретает тогда вид

fi«,±-0-Vi-M²=0,

и для приведения его к обычному виду введем вместо ср новый
потенциал ср' согласно

Ф' = _ФУ1 -М². (124,5)

Для ср' будем иметь то же уравнение Лапласа и граничное условие

v_inx±^r = 0, (124,6)

которое должно удовлетворяться при у' = 0.

Но уравнение (124,4) с граничным условием (124,6) есть уравнение, которому должен удовлетворять потенциал скорости несжимаемой жидкости, обтекающей тело с поверхностью С. Таким образом, задача об определении распределения скоростей при обтекании крыла с поверхностью С сжимаемой жидкостью сводится к нахождению распределения скоростей при обтекании несжимаемой жидкостью крыла с формой поверхности С.

Рассмотрим, далее, действующую на крыло подъемную силу Fy. Раньше всего замечаем, что произведенный в § 38 вывод формулы Жуковского (38,4) полностью применим и к сжимае­мой жидкости, поскольку вместо переменной плотности р жид­кости все равно надо в том же приближении писать постоянную величину pi. Таким образом,

F_y = -_PlVl\Tdz, (124,7)

где интегрирование производится по всей длине 1_Х размаха кры-
ла. Из соотношения (124,5)и одинаковости поперечных профи-
лей крыльев С и С следует, что циркуляция Г скорости при об-
текании крыла С сжимаемой жидкостью связана с циркуляцией
Г' скорости при обтекании крыла С несжимаемой жидкостью
соотношением _______

r==rVl — М?. (124,8)

Подставляя это в (124,7) и переходя от интегрирования по dz к интегрированию по dz', получим:

Величина, стоящая в числителе, представляет собой подъемную силу, действующую на крыло С в несжимаемой жидкости. Обо­значая ее посредством F_y, имеем:

А

1-М?

у

Вводя коэффициенты подъемной силы

F„. F'

С

(где 1_Х, 1г и 1_Х, /г = /гд/1 — М² — длины крыльев С и С вдоль осей х и z), перепишем это равенство в виде

С_у= (124,10)

yi-м²

Для крыльев достаточно большого размаха (с постоянным вдоль размаха профилем сечения) коэффициент подъемной силы в несжимаемой жидкости пропорционален углу атаки и не за­висит от длины и ширины крыла:

Су = const -а, (124,11)

где const зависит только от формы профиля сечения (см. § 46). В этом случае можно поэтому написать вместо (124,10)

_с(0)

^С*⁼-Т=%' ^(124,12)

где Су и С_у⁰⁾— коэффициенты подъемной силы одного и того же крыла соответственно в потоках сжимаемого и несжимаемого газа. Таким образом, мы получим такое правило: подъемная сила, действующая на длинное крыло в потоке сжимаемого газа, в О — М²)"¹'² раз больше подъемной силы, действующей на та­кое же крыло (при том же, в частности, угле атаки) в потоке несжимаемого газа (L. Prandtl, 1922; Н. Glauert, 1928).

Аналогичные соотношения можно получить и для силы со­противления. Наряду с формулой Жуковского для подъемной силы полностью переносится в теорию сжимаемой жидкости также и формула (47,4) для индуктивного сопротивления крыла. Произведя в ней те же преобразования (124,3) и (124,8), по­лучим: где F_x — сопротивление крыла С в несжимаемой жидкости. При увеличении длины размаха индуктивное сопротивление стремит­ся к постоянному пределу (§ 47). Поэтому для достаточно длин­ных крыльев можно заменить на F^ (сопротивление в не­сжимаемой жидкости того же крыла С, к которому относится F_x). Тогда для коэффициента сопротивления имеем:

_С(0)

^с* = ТГмГ ^(124Л4)

Сравнив с (124,12), мы видим, что при переходе от несжимае­мой жидкости к сжимаемой остается неизменным отношение

С у/С х-

Все изложенные здесь результаты, разумеется, неприменимы при слишком близких к единице значениях М_ь когда вообще становится неприменимой линеаризованная теория.

§ 125. Сверхзвуковое обтекание крыла

Для того чтобы быть хорошо обтекаемым в сверхзвуковом потоке, крыло должно иметь заостренными как заднюю, так и переднюю кромки, подобно тому как должны быть заострены тонкие тела, рассматривавшиеся в § 123.

Здесь мы ограничимся изучением обтекания тонкого крыла с очень большим размахом, с постоянным вдоль размаха про­филем сечения. Рассматривая длину размаха как бесконечную, мы будем иметь дело с плоским (в плоскости х, у) течением газа. Вместо уравнения (123,1) будем иметь теперь для потен­циала уравнение

с граничным условием

Зор

(знаки =F в правой стороне равенства имеют место соответствен­но для верхней и нижней поверхностей крыла). Уравнение (125,1) есть уравнение типа одномерного волнового уравнения, и его общее решение имеет вид

Ф = Л (х - М) + fA* + №)•

Тот факт, что влияющие на движение жидкости возмущения ис­ходят от тела, оз'начает, что в пространстве над крылом (у > 0) должно быть fi = 0, так что ф = fi (х — By), а в пространстве под крылом (у < 0): ф =/г (# + Вг/). Будем для определенности рассматривать пространство над крылом, где

V = f(x — ру).

Функцию f определим из граничного условия (125,2), написав в нем п_х — £₂(х), где y = t,₂(x) есть уравнение верхней части линии профиля крыла (рис. 129,а). Имеем:

WL₊₀= - W<*>= W. f W —-J- ЬW-

Таким образом, распределение скоростей определяется (при у > 0) потенциалом

Ф (л, «/) = - -у 1г (х — $у). (125,3)

Аналогично при (/<0мы получили бы

Ф = у-Е»<*+Р0).

где y = £i(x) — уравнение нижней части профиля. Отметим, что потенциал, а с ним и остальные величины постоянны вдоль пря­мых х ± Р«/ = const, (характеристик) в соответствии с резуль­татами § 115, частным случаем которых является и получен­ное здесь решение.

/а

Рис. 129

Качественно картина течения выглядит следующим образом. От задней и передней заостренных кромок отходят слабые раз­рывы (аАа' и ЬВЬ' на рис. 129,6)'). В пространстве впереди разрыва аАа' и позади ЬВЬ' поток однороден, а в области между ними поток поворачивает, огибая поверхность крыла; это есть

') Это справедливо лишь в принятом здесь приближении. В действитель­ности это — не слабые разрывы, а ударные волны слабой интенсивности или узкие центрированные волны разрежения, смотря по тому, в какую сторону поворачивает в них направление скорости. Так, для изображенного на рис. 129,6 профиля Аа и ВЪ' будут волнами разрежения, а Аа' и ВЬ — удар­ными волнами.

Линия же тока, исходящая от задней кромки (точка В на рис. 129,6), представляет собой в действительности тангенциальный разрыв скорости (фактически размывающийся в тонкий турбулентный след).

простая волна, причем в рассматриваемом линеаризованном при­ближении все характеристики в ней имеют одинаковый наклон, равный углу Маха натекающего потока.

Дата добавления: 2014-11-07