Исследование устойчивости состояния равновесия

Устойчивость состояния равновесия системы со слабыми нелинейностями изучается с помощью первого метода Ляпунова (второй метод применяется для систем с существенными нелинейностями).

1. Математически система со слабыми нелинейностями приводится к каноническому виду:

При этом хотя бы одна из функций или должна быть нелинейной.

1. Определение состояния равновесия:

.

1. Т.к. функции и аналитические (непрерывные дифференцируемые), их можно разложить в ряд Тейлора с центром в т. А.

; ; ; ; .

.

– объединяют в себе все члены разложения в ряд Тейлора, начиная со второго порядка. Если отбросить и , получим линейную систему первого приближения:

1. Исследование устойчивости полученной системы методом фазового пространства.

1. Теоремы Ляпунова:

1) Если линейная система первого приближения устойчива, то исходная нелинейная система будет устойчива в состоянии равновесия.

2) Если линейная система первого приближения неустойчива, то исходная нелинейная система неустойчива в состоянии равновесия.

3) Если линейная система первого приближения нейтральна, то нелинейную систему нужно исследовать особо.

Пример:

Находим состояние равновесия:

.

Рассматриваем только .

Вывод: исходная нелинейная система в данном состоянии неустойчива (по второй теореме Ляпунова).

Дата добавления: 2014-10-22