Пример К-1а

Скалярное касательное ускорение точки в данный момент времени равно первой производной от скалярной скорости по времени или второй производной от естественной координаты по времени.

Модуль нормального ускорения точки в данный момент времени определяется выражением:

, где ρ – радиус кривизны траектории в точке.

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, нормальное – по главной нормали в сторону вогнутости траектории.

Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное – изменение направления скорости.

Ускорение точки при движении по любой траектории равно сумме касательного и нормального ускорения:

.

Классификация движений точки по ускорениям:

1. - движение неравномерное, прямолинейное;

2. - движение неравномерное, криволинейное;

3. - движение равномерное, криволинейное;

4. - движение равномерное, прямолинейное.

4.1.1 Задача К-1. Определение скоростей и ускорений точки по заданным уравнениям ее движения.

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.

Задача К1а. Точка В движется в плоскости ху (рис. К1. 0 — К1. 9, табл. KI; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f₁(t), у = f₂(t), где хну выражены в сантиметрах, t — в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нор­мальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траек­тории.

Зависимость х = f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость

y = f₂(t) дана в табл. К1 (для рис. 0—2 в столбце 2, для рис. 3—6 в столбце 3, для рис. 7—9 в столбце 4). Как и в задачах С1 — С3, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 — по последней.

Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону S = f(t), заданному в табл. К1 в столбце 5 (S в метрах, t в секундах), где S = АМ — расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁=1 с. Изобразить на рисунке векторы V и a, считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета S — от А к М.

Указания. Задача К1 относится к кине­матике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.

В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упро­щения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

;

.

Таблица К1

Номер условия	y = f2(t)	S = f(t)
Рис.0-2	Рис.3-6	Рис. 7-9
		2t^2+2
		(2+t)^2		6t-2t^2
		2t^3
		2-3t^2
				3t^2-10t
		(t+1)^3
		2-t^3

Y Y Y     B B B   0 Рис.К1.0 X 0 Рис.К1.1 X 0 Рис.К1.2 X Y Y Y   B B B     0 0 0 Рис.К1.3 X Рис.К1.4 X Рис.К1.5 X   Y Y Y   B B B   0 Y 0 Y 0 Y Рис.К1.6 Рис.К1.7 Рис.К1.8 Y   B   0 Y Рис.К1.9  

Дано: уравнения движения точки в плоскости XOY:

x=12sin(πt/6), y=4cos(πt/6), где x, y – в сантиметрах, t – в секундах.

Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения параметр t:

- уравнение траектории точки – эллипс с полуосями 12 см и 4 см (рис. К -1).

2. Определим положение точки на траектории в момент времени t₁=1с:

x₁=12sin(πt/6)=6(см), y₁= 4cos(πt/6)= 3,48 (см).

3. Скорость точки находим по её проекциям на координатные оси:

, при t₁=1с

4.Аналогично найдём ускорение точки при t₁=1с:

5. Находим касательное ускорение точки, зная численные значения всех величин, входящих в правую часть выражения:

при t₁=1с

6. Нормальное ускорение точки определяем по формуле , подставляя известные численные значения. При t₁=1с получим

7. Определяем радиус кривизны траектории: ρ=v²/aⁿ при t₁=1с ρ₁=24,93 (см).

Ответ: v₁=5,56 (cм/c); a₁=1,89 (cм/c²); a_1τ=1,43 (cм/c²); a_1n=1,24 (cм/c²); ρ₁=24,93 (см).

Дата добавления: 2014-10-31