Сила, действующая на точку, зависит от времени

Задача 2.3.

Тело массой m движется из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы , величина которой изменяется по закону . Найти закон движения груза. Н. у.: t = 0; x = 0; V₀

Решение.

Выберем начало отсчета 0 в начальном положении груза и направим ось 0 х в сторону движения (рис. 2.4).

Рис. 2.4.

В этом случае начальные условия будут: при t = 0; x = 0; V_х = 0.

Изобразим точку М в произвольном положении, но так, чтобы x > 0; V_х > 0, и действующие на нее силы. Составим уравнение второго закона Ньютона:

Проектируя это векторное уравнение на ось х, получим:

или .

Учитывая, что , получим

.

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении первого порядка, получим:

, или .

Интегрируя обе части уравнения, получим:

, или:

Учитывая начальные условия получим, что С₁ = 0

Так как , то

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

,

.

Подставляя начальные условия, получим: С₂ = 0.

Тогда уравнение движения точки под действием указанной силы имеет вид:

.

Ответ: .

Дата добавления: 2014-11-26