С большими скоростями

Применение механических представлений к описанию движений

2.5.1. Кинематические представления релятивистской механики

Для описания движения с большой скоростью (сравнимой с максимальной равной с = 3 108 м/с). Эйнштейн в 1905 г. создал релятивистскую механику, называемую также специальной теорией относительности, если движение рассматривается в инерциальной системе отсчета. Обобщенная на случай неинерциальной системы отсчета, она называется общей теорией относительности и является современной теорией тяготения.

Основу специальной теории относительности составляют два постулата, принцип относительности и принцип постоянства скорости света содержание которых уже обсуждалось. Из этих постулатов следует ряд выводов, касающихся свойств пространства и времени, поэтому эту теорию называют также физическим учением о пространстве и времени. в ней впервые свойства пространства и времени рассматривались тесно связанными между собой и с законами физических явлений, совершающихся в ней.

Связь пространства и времени особенно наглядна в тех преобразованиях координат и времени, с помощью которых можно перейти от одной инерциальной системы отсчета к другой. Ранее обсуждалось, что все инерциальные системы отсчета равноправны из - за однородности и изотропности пространства - времени. отличаться друг от друга инерциальные системы отсчета могут либо а) сдвигом начала системы отсчета, б) поворотом координатных осей, в). либо сдвигом начала отсчета времени, либо г) относительным равномерным и прямолинейным движением. В последнем случае существенно влияние численного значения скорости движения, именно его рассмотрим подробно.

Пусть имеем две инерциальные системы отсчета, которые обозначим О и О’ рис. 2.5.1, причем система О’, движется относительно системы О с большой

постоянной скоростью .

Рис. 2.5.1

Направим оси и вдоль вектора скорости , а оси и и параллельно друг другу. Будем считать, что в начальный момент времени начала систем отсчета совпадали. Положение произвольной частицы М относительно системы О определяется , а относительно O’ . Связь и , и , а следовательно и , и , и дается преобразованиями координат и времени Лоренца. Можно показать, что для рассматриваемого случая они имеют вид:

; ; ; (2.5.1)

или ; ; ; . (2.5.2)

Для случая малых скоростей движения формулы (2.5.1) и (2.5.2) переходят в: ; ; ; (2.5.3)

или ; ; ; , (2.5.4)

которые впервые были получены Галилеем, а потому называются преобразованиями координат и времени Галилея.

При формулы (2.5.1) и (2.5.2) не имеют смысла. Это согласуется с принципом постоянства скорости света о невозможности движения в пустоте со сверхсветовыми скоростями.

Рассмотрим следствия из преобразований Лоренца:

1). Необходимость введения для каждой системы отсчета собственного времени, поскольку течение времени зависит от скорости движения системы. Это непосредственно следует из вида преобразований Лоренца, согласно которым . Лишь в случае малых скоростей, как видно из преобразований Галилея, т.е. время одинаково течет во всех инерциальных системах отсчета.

2). Относительность временного интервала, т.е. неодинаковость длительности событий в разных инерциальных системах, движущихся относительно друг друга с большой скоростью. Покажем, что длительность, например, горение лампы по часам быстро движущейся системы отсчета больше, чем по часам, которые покоятся по отношению к лампе. Пусть лампа, находящаяся в системе О (рис. 2.5.1) в точке с координатами , включена в момент времени и выключена в . Тогда

(2.5.4)

- длительность горения лампы по часам системы О. Длительность горения той же лампы по часам системы О’ равна

. (2.5.5)

Выразим через , для этого в (2.5.5) подставим выражение и соответственно через и по (2.5.2), тогда получим:

(2.5.6)

Получили, что в раз. Иными словами, длительность событий в различных системах различна, причем наименьшая длительность в этой системе, в которой событие происходит, а по отношению к другим инерциальным системам отсчета, движущимся со скоростью , длительность того же процесса больше и тем больше, чем ближе к . Если , то и , т.е. длительность события в таких системах одинакова. Замедление времени экспериментально обнаружено у релятивистских элементарных частиц и используется в ускорителях для определенных целей.

3). Относительность одновременности событий. Пусть в системе отсчета О рис. 2.5.1 в момент времени происходит одновременно два события в точках с координатами и . Выясним, будут ли одновременными эти события с точки зрения системы О, движущейся по отношению к системе О с большой скоростью . В системе О этим событиям соответствует момент времени и , которые связаны с преобразованием по (2.5.2):

и .

Найдем: . (2.5.7)

Из (2.5.7) видно, что момент времени и будут совпадать, т.е. события в О’ будут одновременными, если оба события происходят в одном и том же месте т.е. . Если не равно , то события в системе О’ не одновременны. Следовательно, понятие одновременности событий можно применять лишь к той системе, в которой они происходят, т.е. одновременность событий относительна. В случае малых скоростей движения системы О в (2.5.7) и . Это означает, что события, одновременные в одной системе, будут одновременными и в других покоящихся или медленно движущихся системах.

4). Относительность пространственного интервала, т.е. неодинаковость длины отрезков в различных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с большой скоростью. Покажем, например, что стержень длиной , (2.5.8)

закрепленной в системе О будет иметь меньшую длину с точки зрения системы О’ (рис. 2.5.1). Обозначим длину этого стержня, измеренную в из системы О’ через . (2.5.9)

Из преобразований (2.5.1): , отсюда

. (2.5.10)

Подставим (2.5.10) в (2.5.9) получим:

. (2.5.11)

Из (2.5.11) видно, что , т.е. длина отрезков в различных системах отсчета различна, причем наибольшая она в той системе, по отношению к которой он покоится, а в других системах, движущихся с большой скоростью, длина того же отрезка меньше и тем меньше, чем ближе к . Следует отметить, что сокращение длины происходит лишь в направлении движения, поперечные размеры не изменяются. Если же в (2.5.11) и , т.е. длина отрезков в покоящихся или медленно движущихся относительно друг друга системах одинакова.

5). Инвариантность пространственно - временного интервала. Величины или соотношения называются инвариантными, относительно преобразований Лоренца (2.5.1), если они не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой с использованием преобразований координат и времени Лоренца. К инвариантным величинам, например, относятся: скорость света в вакууме, собственное время системы. Одним из инвариантных выражений является пространственно - временной интервал, т.е. интервал между двумя событиями, происходящими в моменты времени и , промежуток между которыми равен , пространственное расстояние между которыми равно . Пространственно - временной интервал имеет вид:

. (2.5.12)

Подстановкой (2.5.1) в (2.5.12) можно убедиться, что в системе О’ пространственно - временной интервал будет иметь такой вид:

.

6). Релятивистское сложение скоростей. Если частица М (рис. 2.5.1) движется со скоростью относительно системы О’ и относительно системы О, а скорость системы О по отношению к системе О’ равна и сравнима с , то правило векторного сложения этих скоростей которым пользуются в механике малых скоростей, оказывается не выполняющимся. В рассматриваемом случае скорости связаны более сложными соотношениями. Так, для случая одинакового направления вдоль оси х скоростей и , можно получить формулу: . (2.5.13)

Если скорости и малые, то (2.5.13) переходит в известную: . Соотношение (2.5.13) никогда не приводит к скоростям, превышающим скорость света. Даже, если (2.5.13): . Это связано с тем, что в основе преобразований Лоренца и его следствий лежит принцип постоянства скорости света.

7). Можно сказать, что ускорение частицы в различных движущихся относительно друг друга с большими скоростями инерциальных системах отсчета не одинаковы, т.е. не инвариантны.

Дата добавления: 2014-11-16