Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости

Рис 146

На (рис. 146) изображено тело, имеющее плоскость симметрии; сечение тела этой плоскостью заштриховано. Расположим оси х и у в плоскости симметрии, а ось z перпендикулярно к ней. Возьмем в этом теле две точки . и , симметрично расположенные относительно плоскости хОу. Выделим около них равные элементарные объемы .Точки . и лежат на одном перпендикуляре к плоскости хОу, на равных расстояниях от этой плоскости, т. е. (рис 146). Следовательно, координаты zt этих точек равны по величине и противоположны по знаку.

Суммируя произведения получим , где суммирование распространено на все элементарные объемы.

Вычислим координату центра тяжести рассматриваемого одно-

родного тела по формуле (66.2):

= 0

Полученный результат показывает, что центр тяжести рассматриваемого тела находится в плоскости симметрии.

На основе рассмотренных теорем можно определить положения центров тяжести некоторых симметричных линий, фигур и тел:

1) центр тяжести отрезка прямой лежит в его середине;

2) центры тяжести окружности, площади круга, поверхности и объема шара находятся в их геометрических центрах;

3) центры тяжести периметра и площади параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата лежат в точках пересечения их диагоналей;

4) центр тяжести периметра и площади правильного многоугольника находится в центре вписанного (или описанного) круга.

Дата добавления: 2014-12-16