Энергетический спектр случайного процесса

Рассмотрим понятие энергетического спектра на примере центрированного (математическое ожидание равно нулю) эргодического процесса. Отметим, что эргодический процесс является стационарным. Дисперсия такого процесса

.

Часто дисперсию называют средней мощностью процесса. Для электрического тока или напряжения средняя мощность

,

где – мгновенная мощность, а – энергия процесса.

Если принять сопротивление , то приходим к формуле (4.56). Принимая пределы интегрирования в (4.56) равными бесконечности, записываем равенство Парсеваля - Лапласа

.

Это равенство отражает закон сохранения энергии. Интеграл от квадрата функции равен интегралу от квадрата ее спектра . Тогда выражение (4.54) можно записать таким образом:

где функцию называют оценкой (несостоятельной) энергетического спектра случайного процесса, или спектральной плотностью мощности (СПМ). В формуле

- спектр усеченной реализации временным интервалом . Функцию называют периодограммой Фурье.

Непосредственно сам энергетический спектр получают путем усреднения по ансамблю реализаций или каким-нибудь другим образом. Энергетический спектр и его оценка имеют вид, изображенный на рис. 4.38.

  Рис. 4.38. Энергетический спектр и его оценка

Характерный интервал корреляции флуктуаций оценки спектра имеет порядок . При характерный интервал корреляции стремится к нулю и характер флуктуаций по частоте подобен поведению белого шума:

,

где – дельта-функция.

Заметим, что энергетический спектр является вещественной функцией и не зависит от мнимой единицы .

Если отождествить дисперсию процесса с его средней мощностью, то

.

Отсюда ясен физический смысл названия "спектральная плотность мощности". Из этого выражения видно, что – мощность процесса, отнесенная к единичной полосе частот (т.е. это спектральная плотность мощности), а – средняя мощность процесса в окрестности частоты в полосе . Размерность СПМ

.

Последняя совпадает с размерностью энергии. Поэтому СПМ часто называют энергетическим спектром.

Теорема Хинчина – Винера

Эта теорема гласит, что энергетический спектр случайного процесса и его корреляционная функция связаны друг с другом парой преобразований Фурье

,

.

При

.

Дата добавления: 2014-12-26